Paradigmas geométricos en el trabajo matemático de docentes en formación continua
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PARADIGMAS GEOMÉTRICOS
EN EL TRABAJO MATEMÁTICO
DE DOCENTES EN FORMACIÓN
CONTINUA
JESÚS VICTORIA FLORES SALAZAR
Ponticia Universidad Católica del Perú – PUCP. Doctora y posdoctora en Educación
Matemática. Directora de la maestría en Enseñanza de las matemáticas de la PUCP. ORCID:
0000-0002-0036-140X E-mail: jvores@pucp.pe
DAYSI JULISSA GARCÍA-CUÉLLAR
Ponticia Universidad Católica del Perú – PUCP Instituto de Investigación sobre la enseñanza
de las matemáticas – IREM (PUCP). Magíster en enseñanza de las matemáticas. ORCID: 0000-
0003-0243-6353. E-mail: garcia.daysi@pucp.pe
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PARADIGMAS GEOMÉTRICOS EN EL TRABAJO MATEMÁTICO DE DOCENTES EN
FORMACIÓN CONTINUA
El presente artículo, evidencia algunos resultados de una investigación de corte cualitativo realizada en
una formación continua de profesores en el dominio de la Geometría. La formación se realizó en dos
encuentros y participaron ocho estudiantes de posgrado que son docentes peruanos de Educación Básica
Regular - nivel secundario. Para este escrito se analiza el trabajo matemático de dos docentes en dos
tareas realizadas en el primer encuentro. Como referencial teórico utilizamos aspectos de Espacio de
Trabajo Matemático (ETM), especialmente para identicar los paradigmas de la Geometría. En cuanto
a los resultados se observó que los docentes resolvieron las tareas en los paradigmas GI y GII del ETM.
Palabras clave: Geometría. Trabajo Matemático. Paradigmas Geométricos. Formación docente.
PARADIGMAS GEOMÉTRICOS NO TRABALHO MATEMÁTICO DE PROFESSORES EM
FORMAÇÃO CONTÍNUA
Este artigo evidencia alguns resultados de uma pesquisa qualitativa realizada em uma formação contínua
de professores no domínio de Geometria. A formação foi efetuada em dois encontros e participaram
oito estudantes de pós-graduação que também são professores peruanos de Educação Básica - no nível
secundário. Para este escrito, analisa-se o trabalho matemático de dois docentes em duas tarefas realizadas
no primeiro encontro. Como referencial teórico, utilizamos aspectos do Espaço de Trabalho Matemático
(ETM), especialmente para identicar os paradigmas da Geometria. Com relação aos resultados, observa-
se que os docentes resolveram as tarefas nos paradigmas GI e GII do ETM.
Palavras-chave: Geometria. Trabalho Matemático. Paradigmas Geométricos. Formação de professor.
GEOMETRIC PARADIGMS IN THE MATHEMATICAL WORK OF IN-SERVICE
TEACHERS EDUCATION
The present article shows some results of a qualitative research of an in-service teacher in the domain
of Geometry. The program was carried out in two meetings with eight postgraduate students who are
Peruvian teachers of Regular Basic Education - secondary level. This paper analyzes the mathematical
work done by two teachers in two tasks carried out in the rst seminar. As a theoretical reference we use
aspects of Mathematical Working Space (MWS), especially to identify geometrical paradigms. As for the
results, we observe that the teachers solve the tasks in GI and GII paradigms of the MWS.
Keywords: Geometry. Mathematical Work. Geometric Paradigms. In-service teacher education.
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PARADIGMAS GEOMÉTRICOS EN EL TRABAJO MATEMÁTICO
DE DOCENTES EN FORMACIÓN CONTINUA
Introdución
En el Perú el Proyecto Educativo Nacional-PEN al 2021 (PERÚ, 2007) propone estructurar
y fortalecer la formación inicial y continua de profesores, plantea que ambas formaciones deben
estar relacionadas ya que, en el caso de matemática, un profesor debe estar preparado para pro-
poner y desarrollar tareas para que los estudiantes sean capaces de resolver problemas, establecer
relaciones entre las diferentes representaciones de objetos matemáticos, etc.
Por otro lado, en Didáctica de la Matemática existen investigaciones relacionadas al dominio
de la geometría, sin embargo, las evidencias muestran que aún son escasas las investigaciones en
este dominio que se vinculen con la formación de profesores. Por ello, es de nuestro interés ana-
lizar tareas, en el sentido de la teoría del Espacio de Trabajo Matemático (ETM), que favorezcan
el trabajo matemático de profesores en relación al dominio de la Geometría.
En este sentido, en los trabajos recientes que el grupo de investigación Tecnologías y Vi-
sualización en Educación Matemática - TecVEM de la Ponticia Universidad Católica del Perú
- PUCP, se están desarrollando investigaciones para analizar tareas en el dominio de la Geometría
de tal manera que se han identicado conocimientos matemáticos que movilizan docentes en este
dominio. Asimismo, en el marco del desarrollo de proyecto de investigación (2019, DGI-694), se
cuenta con avances, como los de Almonacid (2018), Salazar y Carrillo (2019).
En relación a la Geometría, se sabe que, durante el último siglo la Geometría y su enseñanza
han sufrido dos grandes transformaciones. En primer lugar, la Geometría dejó de ser, por muchas
décadas, un área investigación matemática como lo señala Brousseau (1987) la transposición en
la enseñanza quedó en manos de los profesores. En segundo lugar, el uso de tecnología digital ha
modicado la dinámica de la prueba
1
en Geometría (STRAESSER, 2002).
1 Prueba en el sentido de Balacheff (2000, p. 12) “El paso de la explicación a la prueba hace referencia a un proceso
social por el cual un discurso que asegura la validez de una proposición cambia de posición siendo aceptada por una
comunidad. Esta posición no es denitiva; con el tiempo puede evolucionar simultáneamente con el avance de los
saberes en los cuales se apoya. Por otro lado, una prueba puede ser aceptada por una comunidad, pero también puede
ser rechazada por otra”.
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Es así que, Houdement y Kuzniak (1999; 2006) introdujeron para el dominio de la geometría
tres paradigmas: geometría I (geometría natural), geometría II (geometría natural axiomática),
geometría III geometría axiomática formal). Gracias a estas geometrías, es posible comprender
ciertos malentendidos y dicultades encontrados en la enseñanza y en la formación de profesores
de matemática (KUZNIAK y RAUSCHER, 2011). Además, se enfatiza la necesidad de una en-
señanza que favorezca la articulación entre la geometría y los problemas que surgen del mundo
real por medio de tareas de modelización. También enfatiza la necesidad de articular la geometría
con otros dominios matemáticos.
Sobre formación continua de profesores André (2000) explica que este tipo de formación
es considerada indispensable para el docente tanto para actualizar sus conocimientos y técnicas,
como para desarrollar competencias y actitudes.
Esto se evidencia en las investigaciones que se fundamentan en el ETM, como la investiga-
ción de Henríquez-Rivas y Montoya-Delgadillo (2016) que se centra en contenidos de geometría
euclidiana que vinculan los enfoques sintético y analítico en formación de profesores de nivel
secundario. En esta investigación se presenta una situación didáctica que se focaliza en el análisis
del ETM de un futuro profesor de matemáticas y en las transiciones entre los diferentes paradigmas
de la geometría de esta teoría. En esa misma línea de pensamiento, Gómez-Chacón, Botana, Escri-
bano y Abánades (2016) proponen elementos para organizar un ETM para problemas de lugares
geométricos con la interacción de software de geometría dinámica y exploran cómo profesores
de matemáticas en formación inicial amplían su concepción de lugares geométricos por medio de
la apropiación de las funcionalidades especícas del software en relación con su propia práctica
como estudiantes y como futuros profesionales.
En cuanto a la mediación de la tecnología digital el enfoque semiótico-instrumental (AR-
ZARELLO, 2006) y los conceptos de razonamiento gurativo y guro-discursivo (RICHARD,
2004) han permitido conocer mejor cual es el impacto de la utilización de software en la lógica
de la prueba en matemática. Además, García-Cuéllar y Salazar (2019) mencionan que trabajar
con tecnologías digitales o no (GeoGebra, lápiz y papel), permite al docente identicar en trabajo
de los estudiantes (por medio de las acciones) la movilización o creación de posibles esquemas
mediados por las tecnologías.
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Por otro lado, Kuzniak, Tanguay y Elia (2016) muestran que existen estudios dedicados al uso
de la tecnología digital en la enseñanza y aprendizaje de la matemática que proponen tareas en do-
minios especícos. En la misma línea de pensamiento, Santos-Trigo, Moreno-Armella y Camacho-
-Machín (2016) investigan en relación a la resolución de problemas con el uso de tecnología digital
por parte de profesores de matemática de nivel secundario y proponen para ello tareas geométricas
abiertas. Los autores desarrollan una forma de evaluar estas tareas con nes didácticos mediante la
búsqueda de extensiones o generalizaciones facilitadas por el uso de software. Con el soporte del
ETM analizan la posible coordinación entre los planos epistemológico y cognitivo para subrayar
la importancia de ofrecer un ambiente de aprendizaje donde los fundamentos epistemológicos/
disciplinarios pueden articularse de manera explícita con los sistemas cognitivos de los sujetos.
Espacio de Trabajo Matemático
A continuación, presentamos algunos aspectos de la teoría Espacio de Trabajo Matemático
(ETM) y centramos nuestra atención en el dominio de la Geometría considerando sus Paradigmas.
En ese sentido, Kuzniak, Tanguay y Elia (2016) consideran que el trabajo matemático que
realiza el estudiante le permite la construcción de su propio conocimiento sobre la matemática.
Sin embargo, arman que este proceso es gradual, interactivo y complejo, también sostienen que
la evolución de los conocimientos matemáticos dependerá de las tareas propuestas y de las activi-
dades que el estudiante realice para resolverlas.
En relación a las nociones básicas del ETM, en la investigación de Kuzniak, Montoya-
-Delgadillo y Vivier (2015) presentan las nociones de paradigma, dominio, trabajo matemático y
tarea. Paradigma es el conjunto de creencias, técnicas y valores que comparte un grupo cientíco;
dominio matemático es determinado según la naturaleza de los objetos estudiados y de los para-
digmas que lo caracterizan, por ejemplo, dominio de geometría, algebra, aritmética, análisis, etc.;
trabajo matemático consiste en resolver problemas matemáticos, identicar problemas y organizar
contenidos dentro de un dominio especíco.
En relación con la tarea, en el ETM los autores explican que, de acuerdo con Sierpinska
(citada en KUZNIAK et al., 2016), es considerada como cualquier tipo de problema matemático,
con preguntas establecidas de manera explícita y clara, que requiere un tiempo predecible para
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su resolución. Por otro lado, explican que, en el sentido de Chevallard, una tarea está organizada
en tipos de tareas y, posee un conjunto de técnicas y conocimientos matemáticos que la respalda.
También, los investigadores indican que en el ETM se articulan los planos epistemológico y cog-
nitivo, a través de las génesis originadas por el trabajo matemático.
Estas génesis son detalladas a continuación: Génesis semiótica: basada en los registros de
representación semiótica, “es el proceso asociado a los signos y representamen (o signicantes),
y que representa la relación dialéctica entre la sintáctica y las perspectivas semánticas sobre los
objetos matemáticos, desarrollado y organizado mediante sistemas semióticos de representación”
(KUZNIAK, et al., 2016, p.726); Génesis instrumental: “permite hacer a los artefactos operativos
mediante los procesos de construcción que contribuyen a alcanzar el trabajo matemático” (KUZ-
NIAK, et al., 2016, p.726) y; Génesis discursiva: “utiliza las propiedades del sistema de referencia
teórico para ponerlas al servicio del razonamiento matemático y para una validación no solamente
icónica, gráca o instrumental. En la génesis discursiva de la prueba, las propiedades utilizadas
en el razonamiento matemático dan el signicado” (GÓMEZ-CHACÓN, KUZNIAK y VIVIER,
2016, p. 10).
Los investigadores señalan que el objeto de la génesis discursiva es la validación en sentido
bidireccional, por un lado, un razonamiento discursivo apoyado en las propiedades del referencial
teórico y, por el otro, la caracterización de propiedades y deniciones que se deben incluir en el
marco de referencia, posteriormente a un tratamiento instrumental o semiótico. Además, Kuzniak
y Richard (2014) identican tres planos verticales en el ETM (ver cuadro 1) cada uno de los cuales
está denido por la interacción de dos génesis: semiótica e instrumental [Sem-Ins]; instrumental
y discursiva [Ins-Dis] y, semiótica y discursiva [Sem-Dis].
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Cuadro1 - Génesis y planos verticales
Génesis del ETM
Planos verticales del ETM
Fuente: Kuzniak y Richard (2014, p. 21) y Kuzniak, Tanguay y Elia (2016, p.726)
Los planos: [Sem-Ins] asociado a una génesis semiótica y a la génesis instrumental. Se
observan dos formas de trabajo, una orientada hacia la construcción de los resultados (guras, grá-
cos) y la otra hacia la interpretación de los datos brindados por los artefactos; [Ins-Dis] asociado
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a una génesis discursiva de la prueba y a la génesis instrumental y, [Sem-Dis] asociado a las génesis
semiótica y discursiva, en el cual se distinguen los razonamientos argumentativos.
Por otro lado, Kuzniak et al. (2016) explican que, para el trabajo matemático en el contexto
escolar se tiene que tomar en cuenta las orientaciones curriculares que las instituciones educativas
siguen y, que los docentes son los que concretizan en su trabajo en el aula. Además, según las fun-
ciones de la institución, el profesor y el estudiante, en el ETM se distinguen tres espacios de trabajo
matemático, que son llamados: de referencia, idóneo y personal (GÓMEZ-CHACÓN, et al., 2016,
p. 12).
En relación con Houdement y Kuzniak (1999; 2006) introdujeron para el dominio de la Ge-
ometría tres paradigmas:
Paradigma Geometría Natural - GI: en esta geometría los objetos son “objetos materiales”,
trazos sobre el papel o trazos digitales cuando se utiliza tecnología digital como softwares, etc., o
inclusive maquetas. La técnica, usual en GI es el diseño con el apoyo de instrumentos como: regla
graduada, compás, escuadra, transportador, pero también en el plegado, recortado, calcado de papel.
Las tareas pueden ser establecidas por la elección de los instrumentos permitidos.
Paradigma Geometría Axiomática Natural - GII: en esta geometría los objetos de estudio son
ideales, es decir, es necesario el uso de deniciones, axiomas (propuestos en la geometría euclidiana).
Esta geometría se basa en GI conservando una relación con el espacio sensible, es por ello que es
llamada por Houdement y Kuzniak (1999) de “axiomática natural”. En esta geometría los problemas
deber ser textuales, porque los objetos de este paradigma son las deniciones y los teoremas textuales.
Pero los objetos textuales son convencionalmente, por conveniencia, representados por esquemas,
con aspecto idéntico a los dibujos de GI, pero sobre los que se debe mirar de diferente manera pues
los objetos son conceptuales es por eso que las guras tienden a substituirse por axiomas y teoremas
como objetos de estudio. En este paradigma GII no se utilizan instrumentos materiales, pero si instru-
mentos intelectuales (razonamiento hipotético-deductivo) que permite construir nuevos conocimientos.
Paradigma Geometría Axiomática Formal - GIII: los objetos también son ideales, el razona-
miento hipotético-deductivo es el origen de nuevos conocimientos. La diferencia con GII es que la
axiomatización es rigurosa y formal.
El presente artículo se centra en el análisis del trabajo matemático de docentes en el dominio
de la Geometría, considerando especialmente los paradigmas.
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Aspectos Metodológicos
Como la investigación se centra en el análisis de la evidencia de las producciones, estrategias
y procesos que realizan profesores de matemática señalamos que la investigación que realizamos
es cualitativa (BOGDAN y BIKLEN, 1994). Además, la investigación se desarrolla en coherencia
con las fases siguientes:
Primera fase: se realiza la revisión de literatura existente sobre aspectos relacionados al
dominio de la geometría, la formación de profesores y la mediación tecnológica, se presentan los
aspectos del ETM en el dominio de la Geometría y, la metodología.
Segunda fase: se describe la experiencia de formación y dos tareas que tienen la caracte-
rística de permitir interpretaciones y el uso de diferentes paradigmas del ETM. Se explicitan las
interacciones con los docentes participantes de la formación y se realiza el análisis respectivo.
Experiencia de formación
La formación fue realizada en el año 2019 en el marco del proyecto de investigación “Mo-
delización matemática y tecnología digital: una propuesta para favorecer el trabajo matemático de
profesores en formación continua respecto a la articulación de los dominios de la geometría y del
análisis” (DGI 2019-1-0059/ID 694) y constó de dos encuentros, los cuales estuvieron a cargo de
dos investigadores de la PUCP/Perú (miembros del grupo TecVEM) y, en los que colaboró también
una investigadora de la PUCV/Chile. Además, participaron ocho estudiantes de posgrado que son
profesores peruanos de matemática del nivel secundario.
Cuadro 2 - Estructura del primer encuentro
2
Tareas Nombre
1
Paradigmas Geométricos
2
Distancia Mínima
Fuente: Elaboración propia
2 Material elaborado por los investigadores de la PUC-SP Dr. Saddo Ag Almouloud y Dra. María José Ferreira da
Silva que fue utilizado en una formación de profesores en la PUCP, en el marco del proyecto internacional PEAMAT-
DIMAT, 2015.
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El cuadro 2 muestra las dos tareas del primer encuentro que presentaremos en este artículo.
En la primera tarea llamada “Paradigmas Geométricos” los formadores (investigadores) explicitan
aspectos del ETM, en especial los paradigmas del dominio de la Geometría, que servirán de base
para la segunda tarea llamada “Distancia Mínima”, en la que se solicita a los docentes participantes
realizar un análisis matemático y didáctico (asociado a los paradigmas).
En relación con los datos de la formación, estos fueron colectados por medio de chas de
trabajo (docentes participantes), chas de observación (investigadores) y archivos en GeoGebra.
En seguida, presentamos las dos tareas y su respectivo análisis.
Tarea 1: Paradigmas Geométricos
Probar o demostrar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual
a 180º. ¿Cuál sería una estrategia de resolución ubicada en el paradigma GI, GII, GIII?
En GI, se puede confeccionar un triángulo de papel y luego recortar con una tijera los tres
ángulos, formando con ellos un semicírculo. En este caso, el docente estará en GI que corresponde
a la geometría natural, porque manipula un pedazo de papel de forma triangular y lo recorta.
Por otro lado, si se utiliza un ambiente de representaciones dinámicas (ARD) como es el
GeoGebra, que de acuerdo con Salazar y Almouloud (2015) y Salazar, Carrillo, Neira-Fernandez
y Montoya-Delgadillo (2019) permite hacer conjeturas e interpretar propiedades que caracterizan
a las guras geométricas representadas.
En ese sentido, para la construcción del triángulo ABC se puede utilizar distintas herramientas
del GeoGebra como, por ejemplo, la herramienta “ángulo” para medir los tres ángulos (ver gura 1).
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Figura 1 - Solución propuestas en el paradigma GII
Fuente: Material de la formación
También es posible utilizar la función arrastre para cambiar el triángulo de posición y las
medidas (proporcionalmente) de la longitud de sus lados y observar que la suma de las medidas
de los ángulos internos es siempre 180º (ver gura 2).
Figura 2 – Utilizando arrastre y medida del GeoGebra
Fuente: Material de la formación
Además, otra posibilidad es comparar su resultado con el resultado de sus colegas, etc. en
este caso el docente está en el paradigma GII, pues comprueba el resultado empíricamente en la
comparación con los resultados de otros docentes.
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En el caso (ver gura 3), en la que también se utiliza GeoGebra, se traza una recta para-
lela en uno de los lados y se señala que las retas paralelas determinan ángulos alternos internos
congruentes para probar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es
igual a 180º, este trabajo matemático también estaría en el paradigma GII, pues se traza una recta
paralela se utiliza la congruencia de los ángulos alternos internos y realiza deducciones en base a
estos trazos auxiliares realizados en la misma gura.
Figura 3 - Otra solución en el paradigma GII
Fuente: Material de la formación
En el caso de realizar una demostración basada en un sistema axiomático de referencia
entonces el trabajo matemático se encontraría en el paradigma GIII.
Después de presentada esta tarea, se realizó una discusión didáctica de cada paradigma, en la
que los docentes expresaron que justicaciones en los paradigmas GI y GII les son más familiares
y son las que generalmente utilizan al enseñar este tema contenido, sin embargo, expresaron que
resolver esa tarea en el paradigma GI les resulta un poco difícil.
Los docentes expresaron también, que sus estudiantes de nivel secundario (12 a 15 años),
cuando resuelven este tipo de tareas realizan su trabajo matemático, por lo general en los para-
digmas GI o GII.
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En seguida, presentamos la tarea “Distancia Mínima” en la que se pide, a los docentes
participantes, hacer un análisis matemático y didáctico. Cabe resaltar que la reexión didáctica
fue realizada con la intervención de docentes e investigadores que participaron en la formación.
Tarea 2: Distancia Mínima
Los paralelogramos ABCD y LMNO de la siguiente gura son tales que AB = LM.
a) ¿Los dos paralelogramos tienen la misma medida de área?
b) ¿Los dos paralelogramos tienen el mismo perímetro?
Justique sus respuestas y realice un análisis matemático y didáctico de la tarea.
Fuente: Material de la formación
A continuación, presentamos, el desarrollado de la tarea 2. Tomamos como ejemplo el caso
de los docentes que denominamos D1 y D2.
El docente D1 basado en la gura dada, realizó la Figura 4 que se muestra a continuación:
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Figura 4 - Tarea realizada por el docente D1
Fuente: Material de la formación
Dadas las condiciones de la tarea los paralelogramos ABCD y LMNO (ver gura 4) tienen
la misma medida de área, el docente D1 en la misma gura muestra que moviliza conocimientos
matemáticos de congruencia de triángulos, segmentos, ángulos, etc. Lo que evidencia que el trabajo
matemático del docente se encuentra en el paradigma GII porque utilizó propiedades y el discurso
matemático se encuentra en la misma gura.
En relación con área y perímetro, en la gura 5, se muestra el docente se basa en el enunciado
de la tarea y en el discurso que D1 elaboró en la gura para explicar que la medida de las áreas de
los paralelogramos ABCD y LMNO son iguales.
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Figura 5 - Medida de área realizada por el docente D1
Fuente: Material de la formación
Con relación al perímetro (ver gura 6) el docente D1 con base en el trabajo matemático
anterior y utilizando representaciones algebraicas y propiedades de ángulos y arma que los perí-
metros no tienen la misma medida.
Figura 6 - Trabajo matemático del docente D1
Fuente: Material de la formación
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Observamos que en el trabajo matemático de D1 realiza validaciones deductivas y por el
discurso que realiza el docente su validación correspondería al paradigma GII. A continuación,
presentamos el trabajo matemático realizado por el docente D2.
En la gura 7 se muestra el trabajo matemático realizado por el docente D2 y la transcripción
de lo escrito por él.
Figura 7- Parte a) Trabajo matemático realizado por el docente D2
En el paradigma GI:
Para este nivel procedemos de la siguiente manera, respecto al área: Se puede recortar el
paralelogramo ABCD (regular) y llevar sobre el paralelogramo LMNO. Se realiza un nuevo
recorte, se traslada una región triangular y se comprueba que el área del paralelogramo ABCB
es igual al área del paralelogramo LMNO.
Fuente: Material de la formación
Después, el docente sugiere realizar un nuevo recorte con el n de trasladar la región trian-
gular y comprobar que ambas guras poseen la misma medida de área. En cuanto al perímetro,
parte b) el docente explica que: “En relación al perímetro, después de realizar el corte se compa-
ran los paralelogramo, encontrándose que y pero, y por lo tanto el perímetro es menor que el
perímetro ”. Esta armación la realiza basado en los conocimientos matemáticos que moviliza en
el paradigma GI.
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Sin embargo, observamos que para que el trabajo matemático del docente se considere
congurado en GI, su justicación debería basarse en la gura construida sin movilizar otros
conocimientos matemáticos, como se evidencia en su justicación. Por ello, se evidencia que el
trabajo matemático del docente D2 se encuentra en el paradigma GII.
Después de la intervención de los formadores (investigadores), el docente D2 vuelve a re-
solver la tarea y realiza trazos auxiliares en la gura y valiéndose del uso de cuadrículas, realiza
una descomposición de las guras para justicar que ambas tienen la misma medida de área (ver
Figura 7).
Figura 8 - Tarea realizada por D2 en el paradigma GI
Fuente: Material de la formación
Sin embargo, con este tipo de trabajo matemático el docente D2 no consigue responder, que
sucede con el perímetro.
Consideraciones Finales
En el trabajo matemático del docente D1, se evidencia que su resolución se encuentra en
el paradigma GII, porque justica su trabajo usando propiedades de congruencia de triángulos,
denición de cuadriláteros y justica la medida del área basándose en procedimientos algebraicos.
Lo realizado por el docente D2 muestra que su trabajo matemático se encuentra en el tránsito
de los paradigmas GI y GII, es decir que justica su trabajo basado en la gura (percepción).
En
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cuanto al grupo de docentes participantes en la formación, podemos armar que cinco de
los ocho docentes desarrollaron estrategias similares a las presentadas por D2, lo cual los
ubica en el tránsito entre los paradigmas GI y GII.
En ese sentido, observamos que tres de los ocho docentes participantes de la formación
utilizan la gura como soporte para sus deducciones, lo cual podría evidenciar que desarrollan
un trabajo matemático basado fundamentalmente en las propiedades y/o características del objeto
matemático representado, lo que signica que al igual que D1 su trabajo matemático se encuentra
en el paradigma GII.
En la segunda tarea, parte a), en el trabajo matemático de los docentes se puede observar
claramente que en el caso de del docente D1, el discurso matemático que justica su trabajo, toma
como base la gura, sin embargo, la sustenta utilizando propiedades matemáticas. En cambio, para
el trabajo matemático del docente D2, la gura es fundamental para su justicación, porque utiliza
básicamente la cuadrícula como soporte para determinar la medida del área solicitada en la tarea.
Por otro lado, pensamos que el uso de herramientas del GeoGebra facilita el desarrollo de
tareas de manera diferente que, en el ambiente de lápiz y papel, pues favorece la prueba, en el
sentido de Balacheff (2000).
Finalmente, en relación al ETM en las tareas analizadas en el artículo observamos que, en
varios momentos del trabajo matemático de los docentes, se activan las génesis semiótica, instru-
mental y discursiva, así como también los planos verticales [Sem- Ins] y [Ins -Dis]. En ese sentido,
podríamos armar que hubo coordinación entre los planos epistemológico y cognitivo.
Agradecimientos
Este trabajo fue nanciado por la Dirección de Gestión de la Investigación de la
PUCP, a través de la subvención DGI 2019-694.
REFERENCIAS
ALMONACID, A. Modelización de funciones cuadráticas: Espacio de trabajo matemático
personal de estudiantes de humanidades. Tesis (Magíster). Enseñanza de las Matemáticas de la
Ponticia Universidad Católica del Perú, 2018.
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ANDRÉ, M. E. D. A. A pesquisa sobre a formação de professores no Brasil – 1990-1998. In:
CANDAU, Vera M. (Org.). Ensinar e aprender: sujeitos, saberes e pesquisa. Rio de Janeiro:
DP & A, 83-99, 2000.
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Recebido em: 06 de junho de 2020
Inserido em: 10 de agosto de 2020.
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